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Problèmes et théorèmes

<--- Les éléments des mathématiciens   Des géomètres et des révolutions--->

 

L’impact des problèmes de quadrature sur la structure des Éléments illustre le rôle joué par les grands problèmes sur l’évolution des mathématiques. PRO (en avant) BlEMA (jeter) : dans le cadre des joutes oratoires qui étaient monnaie courante, un « problème » était le sujet que l’auditoire lançait à celui qui allait déclamer devant eux. Contrairement au « théorème », où l’on contemple la conclusion à laquelle on peut aboutir, le problème renvoie à l’idée de quelque chose que l’on se propose de faire, mais dont on ne connaît pas la solution à l’avance et qui demande que l’on invente une voie pour le résoudre.

 

Les grands problèmes nécessitent souvent d’être déplacés ou contournés pour les poser différemment. C’est ainsi que le problème des grandeurs incommensurables a amené les Grecs à développer des procédures de quadratures à la règle et au compas, très efficaces pour les figures rectilignes, mais qui ont à leur tour ouvert un nouveau grand problème, celui de la quadrature des figures curvilignes, à commencer par la celle du cercle.

Pro Archimede, et Euclide [Dikaiologia]…
1622
A4A 6
 

 

  

Ce problème est résolu à Syracuse au IIIe siècle avant notre ère dans l’un des premiers écrits d’Archimède : « Un cercle est égal au triangle rectangle construit sur l’un de ses rayons, et dont l’autre côté est égal à la périphérie du cercle ».  Ce théorème donne le résultat fondamental selon lequel, dans tout cercle, le périmètre et le diamètre sont dans une même proportion que la surface et le carré du rayon. Mais il ne se démontre qu’au prix d’accepter de nouvelles méthodes qui « épuisent» le cercle par des polygones aux côtés de plus en plus nombreux et font ressurgir le spectre de l’infini qui avait hanté l’École de Pythagore. Le rapport de proportionnalité sous-jacent au théorème d’Archimède est le nombre que l’on écrit pi depuis le XVIIIe siècle et dont on a démontré au XIXe siècle qu’il relève d’un ordre d’irrationalité qui en interdit la construction à la règle et au compas, ce qui implique l’impossibilité de la quadrature du cercle selon les méthodes d’Euclide.

Archimède (0287-0212 av. J.-C.)
Archimidous ta sozomena...
1792
A1a 49

  

Archimidous ta sozomena,
meta ton Eutokiou Askalonitou
upomnimaton...
1792
A1A 49

Paucton, Alexis-Jean-Pierre (1732-1798)
Théorie de la vis d'Archimède de laquelle on déduit celle des moulins conçus d'une nouvelle manière.
1768
A5b 8

 

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