MAP/MAT567 - Transport et diffusion (2019-2020)

Ce cours organisé conjointement par les départements de Mathématiques Appliquées et Mathématiques est aussi référencé MAT567.

Le but de ce cours est de présenter des modèles de transport et de diffusion de particules que l'on retrouve dans de nombreux domaines d'applications pertinents sur le plan énergétique. Par exemple, le mécanisme de réaction en chaine dans les réacteurs nucléaires, l'effet de serre en climatologie, le transfert radiatif en thermique ou en astrophysique, certains modèles de dynamique des populations structurées en biologie relevant de cette thématique.

Après une présentation mathématique de ces modèles, on montrera que la diffusion est la limite du transport dans un régime fortement collisionnel, et on expliquera la notion de masse ou de taille critique. On introduira des méthodes de résolution numérique de type différences finies et Monte-Carlo.

Niveau requis : Un des 4 cours suivants :

• MAP411 : Modélisation mathématiques,
• MAP431 : Analyse numérique et optimisation,
• MAT431 : Calcul différentiel et fonctions holomorphes
• MAT432 : Distributions, analyse de Fourier et EDP.

Bibliographie :

• Dautray R., (1989). Méthodes probabilistes pour les équations de la physique, Eyrolles, Paris
• Dautray R., Lions J.-L., (1988). Analyse mathématique et calcul numérique pour les sciences et les techniques, Masson, Paris
• Perthame B., (2007). Transport equations in biology, Birkhäuser, Bâle
• Planchard J. (1995). Méthodes mathématiques en neutronique. Collection de la Direction des Études et Recherches d'EDF, Eyrolles.
• Pomraning G., (1973). The equations of radiation hydrodynamics, Pergamon Press. Oxford, New-York

MAP/MAT587 - Transport et diffusion (2019-2020)

Des approfondissements en liaison avec le module "Transport et diffusion" seront proposés. Leur structure sera souple, le travail personnel sur document jouera un rôle prépondérant, éventuellement précédé de quelques cours d'introduction. Ils conduiront à la rédaction d'un mémoire et à une soutenance orale.

- Optimisation de formes et application à un problème de l'énergie nucléaire.

Le but de ce projet est l'étude d'une méthode d'optimisation de formes pour un problème de rechargement du combustible dans un réacteur nucléaire. Il s'agit de positionner différents types de combustible nucléaire en quantité fixée pour optimiser le fonctionnement du réacteur. L'originalité de l'approche proposée ici est d'utiliser une méthode d'optimisation de formes basée sur la théorie de l'homogénéisation. Grosso modo, on suppose que les différents types de combustible peuvent se "mélanger" et on optimise leur proportion en tout point. Les calculs (en théorie de la diffusion) seront réalisés avec le logiciel FreeFem++.

- Homogénéisation d'un modèle de diffusion.

Le but de ce projet est l'homogénéisation, c'est-à-dire la moyennisation, d'un modèle de diffusion dans un milieu périodique. On étudiera d'abord la stratégie de factorisation dans un milieu purement périodique (en 1-d avec Scilab, éventuellement en 2-d avec FreeFem++), puis on fera des expériences numériques sur le cas, beaucoup plus délicat, de la juxtaposition de deux milieux périodiques. Une application typique est le calcul de criticité d'un réacteur nucléaire.

MAT592 - Analyse et applications (2019-2020)

Les domaines classiques des mathématiques que sont l’analyse harmonique et la théorie des équations aux dérivées partielles donnent lieu à de très nombreuses applications dans des domaines de plus en plus variés. La plupart des stages proposés sont de nature essentiellement théorique (certains d’entre eux peuvent comporter une part d’expérimentation numérique) mais les phénomènes qu’ils modélisent couvrent un champ scientifique extrêmement vaste. Il s’agit d’une illustration et non pas d’une liste limitative. Dans la plupart des branches de l’Analyse, d’autres sujets peuvent être proposés au cas par cas, en France ou à l’étranger.

Voici quelques exemples de thèmes qui pourront être abordés :
- Equations de la Mécanique quantique :
Il s’agit d’étudier l’équation de Schrödinger dans différents cadres. Par exemple, l’étude des résonances (généralisation de la notion de valeur propre) pour l’équation de Schrödinger linéaire est liée à la recherche d’états métastables. Des équations de Schrödinger non linéaires interviennent en chimie moléculaire. Un large usage de l’analyse fonctionnelle se joint à des méthodes asympotiques de nature plus géométrique.

- Équations des ondes et relativité générale :
La résolution des équations d’Einstein vues comme système d’équations aux dérivées partielles d’évolution pose de redoutables problèmes. Sur des modèles simplifiés de type « équations des ondes », des phénomènes de type dispersif apparaissent. L’un des outils clefs de la compréhension de ces phénomènes est ce que l’on appelle maintenant l’analyse microlocale, branche issue de l’analyse de Fourier dans les années 1970.

- Modeles cinétiques :
Les modèles cinétiques décrivent différents systèmes physiques (gaz, gaz ionises, plasmas...) par une approche statistique au niveau microscopique (moléculaire ou atomique). Ce sont en général des équations aux dérivées partielles avec des termes non locaux, qui posent toute une variété de problèmes importants de la physique mathématique (comme par exemple les questions liées à la vitessse de convergence vers les états d’équilibre, ou encore certains effets dispersifs). L’étude de ces modèles fait appel aux outils traditionnels de l’analyse, avec dans certains cas des interprétations intéressantes du point de vue probabiliste.

- Modélisation des accidents vasculaires cérébraux :
Certaines modélisations donnent lieu à des équations aux dérivées partielles de type «réaction-diffusion». Il s’agit d’un domaine d’application tout récent.

- Mécanique des fluides géophysiques :
Les modèles simplifiés de fluides géophysiques prennent en compte les effets de la rotation de la Terre. La compréhension des phénomènes d’amortissement et des effets de bord a fait récemment de grands progrès. Les outils mathématiques utilisés sont la théorie des systèmes paraboliques et l’analyse de Fourier.

- Solitons et étude qualitative des solutions :
La description du comportement en temps grand des solutions de Korteweg de Vries (KdV) et de Schrödinger nonlinéaires est un thème de recherche actif mathématiquement et très important du point de vue physique. Les équations de KdV et de Schrödinger sont considérées comme des modèles universels de systèmes hamiltoniens en dimension infinie et apparaissent dans un très grand nombre de phénomènes physiques. Les solitons sont des solutions particulières de ces équations, de type ondes progressives ou périodiques. Le but du stage est d’abord de comprendre des résultats récents sur l’étude des solutions qui sont dans un voisinage des solitons, et dans un deuxième temps de poursuivre l’étude des solutions qui ont un comportement en temps grand proche de celui des solitons.

Exemples de stages effectués les années antérieures :
- Ondelettes et caractérisation des chirps (ENS Cachan).
- Variational problems with 2 phases and their free boundaries (MIT, Cambridge, USA).
- Méthodes topologiques en mécanique des fluides (Cérémade, université Paris IX Dauphine).
- Ondelettes et compression (ENS Cachan).
- Analyse automatique des états veille-sommeil (ENS Cachan).
- Développement asymptotique aux ordres élevés du champ diffracté par un cône semi-infini avec conditions de surface mixtes (CEA, Bruyères-le-Châtel).
- Interfaces dans des problèmes de transitions de phase, (Université Pierre et Marie Curie).
- Inégalités de Carleman et applications (Centre de Mathématiques de l’Ecole polytechnique).
- Ondelettes et approximation non-linéaire (Princeton University, USA).

Langue du cours : Français

Credits ECTS : 20

MAT432 - Distribution, analyse de Fourier et EDP (2019-2020)

Ce cours présente une formation de base en analyse. Ce module permet de dominer les outils mathématiques utilisés dans les enseignements de mathématiques appliquées, physique, mécanique et économie. Il ouvre la voie aux programmes d’approfondissement de mathématiques de troisième année.

Le cours présente le formalisme des distributions, introduites par Laurent Schwartz à la fin des années 1940, qui fournit un cadre naturel pour l’étude de la transformation de Fourier. Il se concentre ensuite sur l’étude des propriétés fondamentales des principales équations aux dérivées partielles de la physique mathématique.

- Distributions, dérivation, convolution, régularisation.
- Transformation et séries de Fourier.
- Equations de Poisson et de Laplace. Fonctions harmoniques.
- Equation de la chaleur.
- Equation des ondes et de Schrödinger.

F. Golse: "Distributions, analyse de Fourier et équations aux dérivées partielles"

Appendice "Intégration sur les surfaces"

MAA105 - Integral and Differential Calculus (2019-2020)

The first part of this course is focussed on the notion of Riemann integral. After introducing the notion of Riemann integrable function, we briefly discuss the basic properties of such functions. Next we present the classical methods for computing integrals (integration by parts, integration by substitution, integration of rational fractions, elementary abelian integrals…) Finally, we study the main notions and results on improper integrals.
The second part is dedicated to the study of ordinary differential equations, mainly first order linear differential equations and linear systems of ODEs, with a special focus on linear differential equations with constant coefficients.
The third part is devoted to the study of plane parametric curves. We will see their fundamental properties and how to sketch a plane curve. We will cover parametric curves in Cartesian coordinates and in polar coordinates.