MAP/MAT567 - Transport et diffusion (2017-2018)

Ce cours organisé conjointement par les départements de Mathématiques Appliquées et Mathématiques est aussi référencé MAT567.

Le but de ce cours est de présenter des modèles de transport et de diffusion de particules que l'on retrouve dans de nombreux domaines d'applications pertinents sur le plan énergétique. Par exemple, le mécanisme de réaction en chaine dans les réacteurs nucléaires, l'effet de serre en climatologie, le transfert radiatif en thermique ou en astrophysique, certains modèles de dynamique des populations structurées en biologie relèvent de cette thématique. Après une présentation mathématique de ces modèles, on montrera que la diffusion est la limite du transport dans un régime fortement collisionnel, et on expliquera la notion de masse ou de taille critique. On introduira des méthodes de résolution numérique de type différences finies et Monte-Carlo.

Evaluation : Examen écrit final.

Toutes les informations sont mises à jour sur le site personnel des enseignants :

http://www.cmap.polytechnique.fr/~allaire/cours_map567.html

MAP/MAT587 - Transport et diffusion (2017-2018)

MAT433 - Distributions (2017-2018)

Ce cours présente une formation de base en analyse. Ce module permet de dominer les outils mathématiques utilisés dans les enseignements de mathématiques appliquées, physique, mécanique et économie. Il ouvre la voie aux programmes d’approfondissement de mathématiques de troisième année.

Le cours présente le formalisme des distributions, introduites par Laurent Schwartz à la fin des années 1940, qui fournit un cadre naturel pour l’étude de la transformation de Fourier. Il se concentre ensuite sur l’étude des propriétés fondamentales des principales équations aux dérivées partielles de la physique mathématique.

- Distributions, dérivation, convolution, régularisation.
- Transformation de Fourier.
- Equations de Poisson et de Laplace. Fonctions harmoniques.
- Equation de la chaleur.
- Equation des ondes et de Schrödinger.

F. Golse: "Distributions, analyse de Fourier et équations aux dérivées partielles"; polycopié (2010).

Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5

MAT587 - Transport et diffusion (2017-2018)

- MAT567 (Transport et diffusion)

* Optimisation de formes et application à un problème de l’énergie nucléaire. Le but de ce projet est l’étude d’une méthode d’optimisation de formes pour un problème de rechargement du combustible dans un réacteur nucléaire. Il s’agit de positionner différents types de combustible nucléaire en quantité fixée pour optimiser le fonctionnement du réacteur. L’originalité de l’approche proposée ici est d’utiliser une méthode d’optimisation de formes basée sur la théorie de l’homogénéisation. Grosso modo, on suppose que les différents types de combustible peuvent se «mélanger» et on optimise leur proportion en tout point. Les calculs (en théorie de la diffusion) seront réalisés avec le logiciel FreeFem++.

* Homogénéisation d’un modèle de diffusion. Le but de ce projet est l’homogénéisation, c’est-à-dire la moyennisation, d’un modèle de diffusion dans un milieu périodique. On étudiera d’abord la stratégie de factorisation dans un milieu purement périodique (en 1-d avec Scilab, éventuellement en 2-d avec FreeFem++), puis on fera des expériences numériques sur le cas, beaucoup plus délicat, de la juxtaposition de deux milieux périodiques. Une application typique est le calcul de criticité d’un réacteur nucléaire.

Langue du cours : Français

Credits ECTS : 4

MAT592 - Analyse et applications (2017-2018)

Les domaines classiques des mathématiques que sont l’analyse harmonique et la théorie des équations aux dérivées partielles donnent lieu à de très nombreuses applications dans des domaines de plus en plus variés. La plupart des stages proposés sont de nature essentiellement théorique (certains d’entre eux peuvent comporter une part d’expérimentation numérique) mais les phénomènes qu’ils modélisent couvrent un champ scientifique extrêmement vaste. Il s’agit d’une illustration et non pas d’une liste limitative. Dans la plupart des branches de l’Analyse, d’autres sujets peuvent être proposés au cas par cas, en France ou à l’étranger.

Voici quelques exemples de thèmes qui pourront être abordés :
- Equations de la Mécanique quantique :
Il s’agit d’étudier l’équation de Schrödinger dans différents cadres. Par exemple, l’étude des résonances (généralisation de la notion de valeur propre) pour l’équation de Schrödinger linéaire est liée à la recherche d’états métastables. Des équations de Schrödinger non linéaires interviennent en chimie moléculaire. Un large usage de l’analyse fonctionnelle se joint à des méthodes asympotiques de nature plus géométrique.

- Équations des ondes et relativité générale :
La résolution des équations d’Einstein vues comme système d’équations aux dérivées partielles d’évolution pose de redoutables problèmes. Sur des modèles simplifiés de type « équations des ondes », des phénomènes de type dispersif apparaissent. L’un des outils clefs de la compréhension de ces phénomènes est ce que l’on appelle maintenant l’analyse microlocale, branche issue de l’analyse de Fourier dans les années 1970.

- Modeles cinétiques :
Les modèles cinétiques décrivent différents systèmes physiques (gaz, gaz ionises, plasmas...) par une approche statistique au niveau microscopique (moléculaire ou atomique). Ce sont en général des équations aux dérivées partielles avec des termes non locaux, qui posent toute une variété de problèmes importants de la physique mathématique (comme par exemple les questions liées à la vitessse de convergence vers les états d’équilibre, ou encore certains effets dispersifs). L’étude de ces modèles fait appel aux outils traditionnels de l’analyse, avec dans certains cas des interprétations intéressantes du point de vue probabiliste.

- Modélisation des accidents vasculaires cérébraux :
Certaines modélisations donnent lieu à des équations aux dérivées partielles de type «réaction-diffusion». Il s’agit d’un domaine d’application tout récent.

- Mécanique des fluides géophysiques :
Les modèles simplifiés de fluides géophysiques prennent en compte les effets de la rotation de la Terre. La compréhension des phénomènes d’amortissement et des effets de bord a fait récemment de grands progrès. Les outils mathématiques utilisés sont la théorie des systèmes paraboliques et l’analyse de Fourier.

- Solitons et étude qualitative des solutions :
La description du comportement en temps grand des solutions de Korteweg de Vries (KdV) et de Schrödinger nonlinéaires est un thème de recherche actif mathématiquement et très important du point de vue physique. Les équations de KdV et de Schrödinger sont considérées comme des modèles universels de systèmes hamiltoniens en dimension infinie et apparaissent dans un très grand nombre de phénomènes physiques. Les solitons sont des solutions particulières de ces équations, de type ondes progressives ou périodiques. Le but du stage est d’abord de comprendre des résultats récents sur l’étude des solutions qui sont dans un voisinage des solitons, et dans un deuxième temps de poursuivre l’étude des solutions qui ont un comportement en temps grand proche de celui des solitons.

Exemples de stages effectués les années antérieures :
- Ondelettes et caractérisation des chirps (ENS Cachan).
- Variational problems with 2 phases and their free boundaries (MIT, Cambridge, USA).
- Méthodes topologiques en mécanique des fluides (Cérémade, université Paris IX Dauphine).
- Ondelettes et compression (ENS Cachan).
- Analyse automatique des états veille-sommeil (ENS Cachan).
- Développement asymptotique aux ordres élevés du champ diffracté par un cône semi-infini avec conditions de surface mixtes (CEA, Bruyères-le-Châtel).
- Interfaces dans des problèmes de transitions de phase, (Université Pierre et Marie Curie).
- Inégalités de Carleman et applications (Centre de Mathématiques de l’Ecole polytechnique).
- Ondelettes et approximation non-linéaire (Princeton University, USA).

Langue du cours : Français

Credits ECTS : 20

MAT661J - Modèles cinétiques (AAG) (2017-2018)

MAT580 - EA en Mathématiques (2017-2018)

Enseignement d'approfondissement : en relation avec un des cours suivis et sous la direction de l’enseignant concerné, l’élève effectue un travail personnel donnant lieu à la rédaction d’un mémoire et à une soutenance orale.

- MAT581 (Equation de Schrödinger non linéaire : des condensats de Bose Einstein aux supersolides)
Chaque séance pourra donner lieu à des approfondissements soit côté mathématiques, soit côté physique.
Leur structure sera souple, le travail personnel sur documents jouera un rôle prépondérant, éventuellement précédé de quelques cours d'introduction. Ils conduiront à la rédaction d'un mémoire et à une soutenance orale.

- MAT582 (Introduction à la géométrie algébrique et courbes elliptiques)
Chaque séance pourra donner lieu à des approfondissements soit côté mathématiques, soit côté physique.
Leur structure sera souple, le travail personnel sur documents jouera un rôle prépondérant, éventuellement précédé de quelques cours d'introduction. Ils conduiront à la rédaction d'un mémoire et à une soutenance orale.

- MAT583 (Groupes compacts et groupes de Lie)
Chaque séance pourra donner lieu à des approfondissements soit côté mathématiques, soit côté physique.
Leur structure sera souple, le travail personnel sur documents jouera un rôle prépondérant, éventuellement précédé de quelques cours d'introduction. Ils conduiront à la rédaction d'un mémoire et à une soutenance orale."

- MAT585 (Surfaces de Riemann) :
Chaque séance pourra donner lieu à des approfondissements soit côté mathématiques, soit côté physique. Leur structure sera souple, le travail personnel sur documents jouera un rôle prépondérant, éventuellement précédé de quelques cours d'introduction. Ils conduiront à la rédaction d'un mémoire et à une soutenance orale.

• Les surfaces modulaires
• Le théorème d'uniformisation
• Le théorème de Belyi
• Les groupes d'automorphismes des surfaces de Riemann compactes
• La Jacobienne d'une surface de Riemann compacte
• Fonctions holomorphes de plusieurs variables

- MAT587 (Transport et diffusion)
* Optimisation de formes et application à un problème de l’énergie nucléaire. Le but de ce projet est l’étude d’une méthode d’optimisation de formes pour un problème de rechargement du combustible dans un réacteur nucléaire. Il s’agit de positionner différents types de combustible nucléaire en quantité fixée pour optimiser le fonctionnement du réacteur. L’originalité de l’approche proposée ici est d’utiliser une méthode d’optimisation de formes basée sur la théorie de l’homogénéisation. Grosso modo, on suppose que les différents types de combustible peuvent se «mélanger» et on optimise leur proportion en tout point. Les calculs (en théorie de la diffusion) seront réalisés avec le logiciel FreeFem++.

* Homogénéisation d’un modèle de diffusion. Le but de ce projet est l’homogénéisation, c’est-à-dire la moyennisation, d’un modèle de diffusion dans un milieu périodique. On étudiera d’abord la stratégie de factorisation dans un milieu purement périodique (en 1-d avec Scilab, éventuellement en 2-d avec FreeFem++), puis on fera des expériences numériques sur le cas, beaucoup plus délicat, de la juxtaposition de deux milieux périodiques. Une application typique est le calcul de criticité d’un réacteur nucléaire.

- MAT588 (Relativité générale)
PHY568 EA : Les élèves suivant le cours de Relativité Générale (MAT568) ont la possibilité de choisir comme EA le cours de physique (PHY568) qui se déroule en parallèle. L’évaluation consistera soit à passer l’examen de PHY568, soit en un travail personnel autour d’un texte scientifique faisant l’objet d’une soutenance orale. Réciproquement, les élèves du PA de Physique suivant le cours de PHY568 peuvent choisir comme EA le cours de MAT568.
Ce cours offre plusieurs directions d’approfondissement : soit dans un cadre purement mathématique, typiquement pour des élèves physiciens qui souhaitent approfondir les aspects mathématiques de certaines questions liées à la théorie de la Relativité Générale ou qui se pose dans son cadre théorique, soit plus en relation avec la physique en explorant diverses généralisations de la théorie qui s'appuient d'ailleurs souvent sur des concepts géométriques qui jouent un rôle important dans le développement de la géométrie différentielle moderne.

• La rigidité des trous noirs d'après Carter, Robinson et Hawking
• Les théorèmes de singularité de Hawking-Penrose
• Les solutions de de Sitter et anti de Sitter
• La stabilité non linéaire de l'espace-temps de Minkowski
• La résolution des équations de contrainte
• Les équations de Yang-mills classiques

Langue du cours : Français

MAA102 - Analysis (2017-2018)

MAA105 - Analysis (2017-2018)

MAA101 - Algebra (2017-2018)