Yvan Martel
présentation
Yvan Martel est professeur à l'École polytechnique depuis 2012 et chercheur en mathématiques au Centre de Mathématiques Laurent Schwartz
Il a été professeur à l'université de Versailles-Saint Quentin de 2004 à 2012 et membre de l'Institut Universitaire de France de 2008 à 2012.   Â
CA/DER/LAB/CMLS
MAT432 - Analyse de Fourier et théorie spectrale (2017-2018)
Le premier objectif de ce cours est d’approfondir certaines notions mathématiques utiles dans les autres sciences, notamment en analyse de Fourier et analyse spectrale.
Le deuxième objectif est d’introduire quelques techniques élémentaires de résolution de plusieurs équations aux dérivées partielles.
Dans cette optique, les concepts mathématiques abordés dans ce cours sont systématiquement appliqués à l’étude de certaines équations aux dérivées partielles (EDP) universelles issues de la physique mathématique : équation de Laplace, équation de Burger, équation de la chaleur, équation des ondes, équation de Schrödinger.
A partir de ces cas modèles, dont la pertinence physique sera discutée brièvement, nous aborderons quelques notions mathématiques fondamentales dans l'étude des EDP.
Plan du cours :
■Méthode des caractéristiques ; EDP d’ordre un.
■Convolution ; équations de Laplace et de Poisson.
■Rappels sur les espaces de Hilbert ; séries de Fourier ; équation de la chaleur.
■Transformée de Fourier dans L2 ; EDP linéaires à coefficients constants.
■Éléments de théorie spectrale ; EDP elliptiques du second ordre.
MAT432 ne peut pas être suivi en même temps que MAT433
Langue du cours : Français
Credits ECTS : 5
MAT651I - Equations paraboliques (AAG) (2017-2018)
MAT652A - Equations paraboliques (AMS) (2017-2018)
MAT652B - Equations elliptiques linéaires et non-linéaires (AMS) (2017-2018)
MAT652C - Introduction à la théorie spectrale (AMS) (2017-2018)
MAT652D - Contrôle des EDO (AMS) (2017-2018)
MAT652E - Analyse théorique et numérique des systèmes hyperboliques (AMS) (2017-2018)
MAT662A - Equations dispersives (AMS) (2017-2018)
MAT662B - Calcul des variations (AMS) (2017-2018)
MAT662C - Equations de Navier-Stokes (AMS) (2017-2018)
MAT662D - Eléments finis, contraintes et dualité (AMS) (2017-2018)
MAT662E - Analyse théorique et numérique des systèmes hyperboliques II (AMS) (2017-2018)
MAT662F - Modèles mathématiques et leur discrétisation en électromagnétisme(AMS) (2017-2018)
MAT662G - Propagation des ondes dans des milieux périodiques (AMS) (2017-2018)
MAA101 - Algebra (2017-2018)
MAA102 - Analysis (2017-2018)
MAA104 - Algebra (2017-2018)
MAT311 - Introduction à l'analyse réelle (2017-2018)
Le cours MAT311 est l’un des deux cours de tronc commun du département de mathématiques de l’École polytechnique. Il est destiné aux élèves issus des filières où les mathématiques ont été moins mises en avant.
Il s’agit d’un cours d’analyse, décomposé en quatre volets successifs :
1. Topologie des espaces vectoriels normés
2. Equations différentielles
3. Compléments d’intégration
4. Espaces de Hilbert et applications.
Tous
les sujets ci-dessus présentent un intérêt pour d’autres cours (en
physique, en mathématiques appliquées, en mécanique, notamment). Les
quatre volets s’enchaînent de la façon suivante.
On commencera par discuter la topologie dans les espaces métriques, spécialement dans les espaces vectoriels munis d’une norme. Les notions-clés seront ici celle de densité ainsi que celles de compacité et de complétude, toutes deux fortement liées à la convergence des suites et des séries. Ces idées seront mises en pratique sur des espaces de fonctions. Ceci conduira à formuler des théorèmes fondamentaux en analyse fonctionnelle. Par exemple, alors que certains énoncés permettront d’approcher des fonctions assez générales par des fonctions beaucoup plus familières (et régulières), certains autres seront à la base de la résolution des équations différentielles.
Les équations différentielles seront abordées sur plusieurs angles complémentaires. Comme application du théorème du point fixe, on donnera la preuve du théorème de Cauchy-Lipschitz sur l’existence locale de solutions. Ensuite, on discutera le prolongement des solutions. Après avoir rappelé quelques méthodes habituelles de résolution explicite, on verra sur des exemples comment décrire globalement des solutions dans des situations où elles ne sont pas déterminées explicitement.
La théorie de la mesure abstraite et de l’intégration aura été vue de façon parallèle dans le cours de Tronc Commun de mathématiques appliquées. Nous rappellerons, dans le vocabulaire de l’analyse, les résultats essentiels de cette théorie. L’intégrabilité au sens de Lebesgue définit de nouvelles classes d’espaces de fonctions pour lesquels les résultats du premier volet sont pertinents.
La dernière partie portera sur l'analyse des espaces de Hilbert. L’analyse de Fourier (séries de Fourier et transformation de Fourier) occupe une large place dans cette partie.