MAA102 - Analysis I (2018-2019)

Analysis (MAA102) is an introductory-level mathematical analysis course that provides a well-balanced approach between calculus and foundational notions; it is designed to equip students with the fundamental analytical tools required in all scientific fields. In particular, this course covers derivatives and function approximation in one real variable. It also introduces students to important mathematical concepts which will be expanded upon later in the program; namely, the basics of topology on the real line.

MAA101 - Algebra (2018-2019)

Algebra (MAA101) is a fast-paced course which provides students with an overview of the most useful techniques of linear algebra.

MAT361 - Introduction à l analyse réelle (2018-2019)

Le cours MAT311 est l’un des deux cours de tronc commun du département de mathématiques de l’École polytechnique. Il est destiné aux élèves issus des filières où les mathématiques ont été moins mises en avant.

Il s’agit d’un cours d’analyse, décomposé en quatre volets successifs :

1. Topologie des espaces vectoriels normés
2. Equations différentielles
3. Compléments d’intégration
4. Espaces de Hilbert et applications.

Tous les sujets ci-dessus présentent un intérêt pour d’autres cours (en physique, en mathématiques appliquées, en mécanique, notamment). Les quatre volets s’enchaînent de la façon suivante.

On commencera par discuter la topologie dans les espaces métriques, spécialement dans les espaces vectoriels munis d’une norme. Les notions-clés seront ici celle de densité ainsi que celles de compacité et de complétude, toutes deux fortement liées à la convergence des suites et des séries. Ces idées seront mises en pratique sur des espaces de fonctions. Ceci conduira à formuler des théorèmes fondamentaux en analyse fonctionnelle. Par exemple, alors que certains énoncés permettront d’approcher des fonctions assez générales par des fonctions beaucoup plus familières (et régulières), certains autres seront à la base de la résolution des équations différentielles.

Les équations différentielles seront abordées sur plusieurs angles complémentaires. Comme application du théorème du point fixe, on donnera la preuve du théorème de Cauchy-Lipschitz sur l’existence locale de solutions. Ensuite, on discutera le prolongement des solutions. Après avoir rappelé quelques méthodes habituelles de résolution explicite, on verra sur des exemples comment décrire globalement des solutions dans des situations où elles ne sont pas déterminées explicitement.

La théorie de la mesure abstraite et de l’intégration aura été vue de façon parallèle dans le cours de Tronc Commun de mathématiques appliquées. Nous rappellerons, dans le vocabulaire de l’analyse, les résultats essentiels de cette théorie. L’intégrabilité au sens de Lebesgue définit de nouvelles classes d’espaces de fonctions pour lesquels les résultats du premier volet sont pertinents.

La dernière partie portera sur l'analyse des espaces de Hilbert. L’analyse de Fourier (séries de Fourier et transformation de Fourier) occupe une large place dans cette partie.

MAA301 - Measure and Integration (2018-2019)

Prerequisite: MAA202

MAA301 is devoted to the modern theory of integration. After first constructing the Lebesgue integral, and explaining how it improves the Riemann integral, a major part of the course will be devoted to discovering the power and ease of use of this tool.

Applications in probability theory will then be briefly described. The course will finally provide an introduction to Lebesgue spaces and the Fourier transform, in order to demonstrate the usefulness of the theory for applications in physics and economics.

After constructing the Lebesgue integral, and explaining how it includes the Riemann integral, a long part of the course will be devoted to discover what a powerful and easy to use tool it is. First applications will be given to probability theory. Finally, Lebesgue spaces and the Fourier transform will be introduced to demonstrate the usefulness of the theory in applications such as physics and economy.