MAT361 - Introduction à l analyse réelle (2019-2020)

Le cours MAT311 est l’un des deux cours de tronc commun du département de mathématiques de l’École polytechnique. Il est destiné aux élèves issus des filières où les mathématiques ont été moins mises en avant.

Il s’agit d’un cours d’analyse, décomposé en quatre volets successifs :

1. Topologie des espaces vectoriels normés
2. Equations différentielles
3. Compléments d’intégration
4. Espaces de Hilbert et applications.

Tous les sujets ci-dessus présentent un intérêt pour d’autres cours (en physique, en mathématiques appliquées, en mécanique, notamment). Les quatre volets s’enchaînent de la façon suivante.

On commencera par discuter la topologie dans les espaces métriques, spécialement dans les espaces vectoriels munis d’une norme. Les notions-clés seront ici celle de densité ainsi que celles de compacité et de complétude, toutes deux fortement liées à la convergence des suites et des séries. Ces idées seront mises en pratique sur des espaces de fonctions. Ceci conduira à formuler des théorèmes fondamentaux en analyse fonctionnelle. Par exemple, alors que certains énoncés permettront d’approcher des fonctions assez générales par des fonctions beaucoup plus familières (et régulières), certains autres seront à la base de la résolution des équations différentielles.

Les équations différentielles seront abordées sur plusieurs angles complémentaires. Comme application du théorème du point fixe, on donnera la preuve du théorème de Cauchy-Lipschitz sur l’existence locale de solutions. Ensuite, on discutera le prolongement des solutions. Après avoir rappelé quelques méthodes habituelles de résolution explicite, on verra sur des exemples comment décrire globalement des solutions dans des situations où elles ne sont pas déterminées explicitement.

La théorie de la mesure abstraite et de l’intégration aura été vue de façon parallèle dans le cours de Tronc Commun de mathématiques appliquées. Nous rappellerons, dans le vocabulaire de l’analyse, les résultats essentiels de cette théorie. L’intégrabilité au sens de Lebesgue définit de nouvelles classes d’espaces de fonctions pour lesquels les résultats du premier volet sont pertinents.

La dernière partie portera sur l'analyse des espaces de Hilbert. L’analyse de Fourier (séries de Fourier et transformation de Fourier) occupe une large place dans cette partie.

MAT554 - Équations d'évolution (2019-2020)

Le cours Équations d'évolution est une introduction à la résolution des équations aux dérivées partielles d'évolution sous l'angle de la théorie des semi-groupes. Ces équations apparaissent entre autres dans la modélisation de systèmes non-stationnaires issus de la physique (par exemple : mécanique des fluides, mécanique quantique, électromagnétisme, relativité) ou de la biologie (réaction-diffusion). Dans de tels contextes, ces équations décrivent l’évolution temporelle de quantités (vitesse, pression, fonction d’onde, concentration) qui dépendent aussi d’une variable spatiale.

La première question mathématique concerne le caractère bien posé de l'équation : toute configuration initiale donne-t-elle une solution de l’équation ? Quel est le cadre fonctionnel le plus adapté ? Quel sens faut-il donner à une telle solution ? La solution est-elle unique ? Est-t-elle définie pour tout temps, ou au contraire cesse-t-elle d’exister en temps fini ?

Nous présenterons quelques résultats fondamentaux de la théorie des équations d'évolution. Concernant les équations linéaires autonomes, nous étudierons la théorie des semi-groupes sur les espaces de Banach, qui fournit un cadre abstrait général répondant aux questions ci-dessus. Nous expliquerons ensuite comment les équations linéaires de la chaleur, des ondes et de Schrödinger entrent dans ce cadre. Pour cela, nous mettrons en œuvre des résultats abstraits d’analyse fonctionnelle et des espaces de fonctions adaptés (notamment les espaces de Sobolev). Dans la deuxième partie du cours, nous décrirons une stratégie permettant de résoudre de façon générale des problèmes d’évolution semi-linéaires par point fixe de Banach. Pour les équations de la chaleur et d'onde non-linéaires, nous montrerons des résultats d’existence locale et d’existence globale. Nous finirons par identifier quelques phénomènes d’explosion en temps fini.

Chapitre 1 : Cas de la dimension finie
 
Chapitre 2. Semi-groupes uniformément continus versus semi-groupes fortement continus
 
Chapitre 3. Opérateurs non bornés
 
Chapitre 4. Le théorème de Hille-Yosida-Phillips
 
Chapitre 5. Équations non homogènes

Chapitre 6. Équations d'évolution non-linéaires

Chapitre 7. L'équation de Klein-Gordon non-linéaire

Chapitre 8. L'équation de la chaleur non-linéaire
 
 Le polycopié du cours sera en anglais et le cours est susceptible d'être enseigné en anglais selon l'audience.

Bibliographie

[1] H. Brezis, Analyse fonctionnelle. Théorie et applications. Masson, 1992.
[2] N. Burq and P. Gérard, Contrôle optimal des équations aux dérivées partielles. Cours de l'École polytechnique, 2002.
[3] T. Cazenave and A. Haraux, An Introduction to Semilinear Evolution Equations. Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications, 13. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1998.
[4] K.-J. Engel and R. Nagel, One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations. Graduate Texts in Mathematics, 19. Springer-Verlag, New York, 2000.
[5] L. C. Evans, Partial Differential Equations. Graduate studies in Mathematics, 19, AMS, 2010.
[6] P. Lévy-Bruhl, Introduction à la théorie spectrale. Cours et exercices corrigés. Dunod, 2003.
[7] A. Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Springer-Verlag New York 1983.

Niveau requis

Le seul prérequis est le cours de tronc commun, en particulier l’analyse hilbertienne et la transformation de Fourier. Il est toutefois utile d'avoir suivi le cours Distributions, Analyse de Fourier et EDP et le cours d'Analyse Fonctionnelle de deuxième année.

Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5

MAA301 - Measure and Integration (2019-2020)

Prerequisite: MAA202
MAA301 is devoted to the modern theory of integration. After first constructing the Lebesgue integral, and explaining how it improves the Riemann integral, a major part of the course will be devoted to discovering the power and ease of use of this tool.
Applications in probability theory will then be briefly described. The course will finally provide an introduction to Lebesgue spaces and the Fourier transform, in order to demonstrate the usefulness of the theory for applications in physics and economics.

MAA301 is devoted to the modern theory of integration. After first constructing the Lebesgue integral, and explaining how it improves the Riemann integral, a major part of the course will be devoted to discovering the power and ease of use of this tool.

Applications in probability theory will then be briefly described. The course will finally provide an introduction to Lebesgue spaces and the Fourier transform, in order to demonstrate the usefulness of the theory for applications in physics and economics.