MAT361 - Introduction à l analyse réelle (2019-2020)

Le cours MAT311 est l’un des deux cours de tronc commun du département de mathématiques de l’École polytechnique. Il est destiné aux élèves issus des filières où les mathématiques ont été moins mises en avant.

Il s’agit d’un cours d’analyse, décomposé en quatre volets successifs :

1. Topologie des espaces vectoriels normés
2. Equations différentielles
3. Compléments d’intégration
4. Espaces de Hilbert et applications.

Tous les sujets ci-dessus présentent un intérêt pour d’autres cours (en physique, en mathématiques appliquées, en mécanique, notamment). Les quatre volets s’enchaînent de la façon suivante.

On commencera par discuter la topologie dans les espaces métriques, spécialement dans les espaces vectoriels munis d’une norme. Les notions-clés seront ici celle de densité ainsi que celles de compacité et de complétude, toutes deux fortement liées à la convergence des suites et des séries. Ces idées seront mises en pratique sur des espaces de fonctions. Ceci conduira à formuler des théorèmes fondamentaux en analyse fonctionnelle. Par exemple, alors que certains énoncés permettront d’approcher des fonctions assez générales par des fonctions beaucoup plus familières (et régulières), certains autres seront à la base de la résolution des équations différentielles.

Les équations différentielles seront abordées sur plusieurs angles complémentaires. Comme application du théorème du point fixe, on donnera la preuve du théorème de Cauchy-Lipschitz sur l’existence locale de solutions. Ensuite, on discutera le prolongement des solutions. Après avoir rappelé quelques méthodes habituelles de résolution explicite, on verra sur des exemples comment décrire globalement des solutions dans des situations où elles ne sont pas déterminées explicitement.

La théorie de la mesure abstraite et de l’intégration aura été vue de façon parallèle dans le cours de Tronc Commun de mathématiques appliquées. Nous rappellerons, dans le vocabulaire de l’analyse, les résultats essentiels de cette théorie. L’intégrabilité au sens de Lebesgue définit de nouvelles classes d’espaces de fonctions pour lesquels les résultats du premier volet sont pertinents.

La dernière partie portera sur l'analyse des espaces de Hilbert. L’analyse de Fourier (séries de Fourier et transformation de Fourier) occupe une large place dans cette partie.

MAT554 - Équations d'évolution (2019-2020)

Ce cours est une introduction à la théorie des équations aux dérivées partielles d'évolution. Ces dernières modélisent des systèmes non-stationnaires issus par exemple de la physique (mécanique des fluides, mécanique quantique, électromagnétisme, relativité…) ou de la biologie (réaction-diffusion…).

Ces équations décrivent l’évolution temporelle de quantités (vitesse, pression, fonction d’onde, concentration…) dépendantes d’une variable spatiale. La première question mathématique sous-jacente est celle du caractère bien posé : une configuration initiale fixée donne t-elle lieu à une solution de l’équation ? Si oui dans quel espace de fonctions ? Et quel sens donner à une telle solution ? Cette solution est-elle unique ? Existe t-elle pour tout temps, ou cesse t-elle d’exister en temps fini ?

Nous présenterons de manière auto contenue quelques résultats fondamentaux de la théorie des équations d'évolution. Concernant les équations linéaires autonomes, nous étudierons la théorie des semigroupes sur les espaces de Banach, qui fournit un cadre abstrait très général répondant aux questions ci-dessus. Nous expliquerons comment les équations de la chaleur, des ondes, de Schrödinger linéaires entrent dans ce cadre. Pour ce faire, nous aurons besoin à la fois de décrire des résultats abstraits d’analyse fonctionnelle et des espaces de fonctions adaptés à l’étude de nombreuses EDP (les espaces de Sobolev). Enfin, nous décrirons quelques problèmes d’évolution semi-linéaires, et la stratégie qui permet de les résoudre. Pour certaines équations de la chaleur et de Schrödinger non-linéaires, nous montrerons des résultats d’existence locale, d’existence globale. Nous finirons par décrire quelques phénomènes d’explosion en temps fini.

 Voici un plan indicatif du cours :

Chapitre 1 : Opérateurs linéaires

Chapitre 2. Espaces de fonctions (Espaces de Lebesgue et de Sobolev)

Chapitre 3. Théorie des semi-groupes

Chapitre 4. EDP d’évolution linéaires

Chapitre 5. Équations semi-linéaire.

Bibliographie

[1] Lawrence C. Evans : Partial Differential Equations. Graduate studies in Mathematics. AMS.

[2] Thierry Cazenave and Alain Haraux : Introduction aux problèmes d'évolution semi-linéaires. Ellipse.

[3] H. Brezis : Analyse fonctionnelle. Théorie et applications, Masson.

Niveau requis

Le seul prérequis est le cours de tronc commun, en particulier l’analyse Hilbertienne et la transformation de Fourier. 

Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5

MAA301 - Measure and Integration (2019-2020)

Prerequisite: MAA202
MAA301 is devoted to the modern theory of integration. After first constructing the Lebesgue integral, and explaining how it improves the Riemann integral, a major part of the course will be devoted to discovering the power and ease of use of this tool.
Applications in probability theory will then be briefly described. The course will finally provide an introduction to Lebesgue spaces and the Fourier transform, in order to demonstrate the usefulness of the theory for applications in physics and economics.

MAA301 is devoted to the modern theory of integration. After first constructing the Lebesgue integral, and explaining how it improves the Riemann integral, a major part of the course will be devoted to discovering the power and ease of use of this tool.

Applications in probability theory will then be briefly described. The course will finally provide an introduction to Lebesgue spaces and the Fourier transform, in order to demonstrate the usefulness of the theory for applications in physics and economics.